"Основные формы всякого бытия суть пространство и время
бытие вне времени есть такая же величайшая бессмысленица
как бытие вне пространства"
Ф.Энгельс

Введение

При изучении специальной теории относительности отдельным вопросом является геометрическая ее интерпретация. В этой статье пойдет речь о математическом и геометрическом описании пространственно-временного континуума.

До XX века пространство и время рассматривались как абсолютные, однако в 1905 году эти понятия резко пошатнулись. Была предложена теория, по которой и пространство, и время лишались абсолютного характера. Замедление времени не обходится без сокращения пространства и наоборот – значит, они взаимосвязаны. Логично объединить их в единый 4-мерный континуум, чтобы рассматривать пространство и время в комплексе. Такой континуум может представлять собой 4-мерное множество, три измерения которого пространственные, а одно – временное. Точка в 4х-пространстве (t,x,y,z) представляет собой событие, произошедшее в момент времени t в точке пространства (x,y,z).

Однако в 1905 году еще не была найдена модель такого 4х-пространства, которая описывала бы релятивистскую кинематику. Только в 1907-1908 гг. немецким ученым Минковским было введено 4-мерное псевдоевклидово пространство, получившее впоследствии название пространства или мира Минковского. Псевдоевклидовым оно оказалось потому, что его метрика отличалась от традиционной евклидовой и представляла собой: (+1 –1 –1 –1), в противовес евклидовой для обычного 4-пространства (+1 +1 +1 +1). Напомню, что метрикой (или геометрией) называется правило для определения расстояния между двумя точками пространства.

Иногда, 4-пространство записывают как (3+1)-пространство, чтобы лишний раз подчеркнуть неэквивалентность физического пространства и времени.

События

Рассмотрим событие A в пространстве-времени, его координаты (x₀,x₁,x₂,x₃). Координаты x₁,x₂,x₃ – есть ни что иное, как декартовы пространственные координаты события в какой-либо ИСО, т.е. x₁ = x, x₂=y, x₃ = z, а координата x₀ – временная и x₀ = ct, где с – скорость света, t – время события по часам данной ИСО. Скорость света была введена для того, чтобы уравнять размерность всех координат. Кроме того, скорость света имеет фундаментальный смысл и инвариантна относительно всех ИСО. Часто временную координату записывают в форме Пуанкаре с использованием мнимой единицы: x₀ = ict. В этом случае координаты события имеют вид: (ict,x,y,z). Смысл в этом определенно есть. Использование комплексной координаты разграничивает пространство и время, которые получили одну и ту же размерность. Введение мнимой временной координаты не дает при расчетах, к примеру, вычесть пространство из времени.

4-мерное пространство Минковского, мягко говоря, трудно представить. Но если свести движение в физическом трехмерном пространстве в перемещение относительно одной оси координат, допустим, Х, то пространство-время будет возможно изобразить на бумаге:

Не удивляйтесь, что ось времени направлена вертикально, хотя в обычных графиках ее изображают горизонтально. Так просто нагляднее, и вы сможете в этом убедиться сами.

Мировые линии

Мировой линией в пространстве-времени называется линия точек 4х-пространства или событий, принадлежащих одному и тому же объекту. Если объект покоится, его мировая линия будет вертикальна (координата x остается постоянной). Для прямолинейно равномерно движущегося объекта его мировая линия будет прямой. Действительно, при таком движении зависимость координаты X от времени линейна.

Но необходимо учесть одну особенность мировых линий. Допустим, объект движется неускоренно со скоростью v из начала координат. Зависимость пространственной координаты от временной выражается так: x = vt. Нужно построить его мировую линию. Уравнение любой прямой мировой линии в мире Минковского, выходящей из начала координат, очевидно, имеет вид:

k ct = x, где k – угловой коэффициент наклона прямой к оси времени.

В нашем случае x = vt. Подставляя в формулу выше, получаем:

k ct = vt    =>      k = v / c.

Но скорость v не может превышать с. Поэтому значение k не может быть больше единицы. Отсюда правило: мировая линия неускоренного объекта не может быть наклонена к оси времени больше чем на 45^o.

Интервал между событиями

Пока ничего особенного в пространстве Минковского мы не нашли, хотя до этого писали, что оно псевдоевклидово. Чтобы убедиться в его необычных свойствах, введем понятие интервала между событиями. Именно здесь мы сталкиваемся с нетривиальной метрикой пространства Минковского.

Рассмотрим два события в 4х-пространстве: А (t₁,x₁,y₁,z₁) и В (t₂,x₂,y₂,z₂). Они могут принадлежать одному и тому же объекту (запуск ракеты на Земле и прилет ее на Марс), а могут произойти независимо друг от друга (вспышка на Солнце и вспышка на Марсе). Пространственно-временным интервалом s_AB между этими событиями называется величина:

s_AB = [c²(t_B - t_A)² – (x_B - x_A)² – (y_B - y_A)² – (z_B - z_A)²] ^0.5

или

s_AB = [c² Dt²_AB – Dx²_AB – Dy²_AB – Dz²_AB] ^0.5

Математически доказано, что пространственно-временной интервал инвариантен (сохраняет свое значение) при рассмотрении его в различных ИСО. То есть: s_AB = s`_AB. Это указывает на абсолютный характер мира Минковского. Точно так же, как абсолютно расстояние между двумя точками в 3х-пространстве без времени, так же абсолютен 4х-интервал в пространстве-времени. Пространство и время относительны, если их рассматривать по отдельности, но в единой системе они дают абсолютное 4х-пространство.

Обратите внимание на знаки минус в формуле 4х-интервала. Они обусловлены псевдоевклидовой метрикой мира Минковского. Например, по Евклиду, расстояние между двумя точками равно 0, только когда точки совпадают (равны их соответствующие координаты). В пространстве Минковского нулевой пространственно-временной интервал может быть и для несовпадающих событий.

Рассмотрим пример: луч света, вылетевший из точки А, прибыл в точку В, находящуюся на расстоянии l от А, за время t. По известной формуле:

l = ct

Запишем пространственно-временной интервал между событиями отправки сигнала и его приема:

s² = c²t² – l² = c²t² – (ct)² = 0

Таким образом, 4х-интервал между событиями, разделенными лучом света, равен нулю, хотя ни пространственные, ни временные координаты событий не совпадают.

Классы пространственно-временных интервалов

Четырехмерные интервалы разделяют на три класса: времениподобные, пространственноподобные и изотропные.

Между событиями А и В времениподобный интервал, если можно найти такую инерциальную систему отсчета, где эти события произойдут в одной точке (естественно, в разное время).

Допустим, в системе К интервал s между А и В такой:

s² = c²t² – l²

Тогда, если он времениподобный, то в системе К` расстояние между точками А и В l`=0. Тогда:

s² = c²(t`)<sup>2</sup> - (l`)² = c²(t`)² > 0.

То есть, квадрат времениподобного интервала всегда больше 0, а значит сам интервал – действительный. Времениподобными интервалами разделяются события, происходящие с одним и тем же объектом, и события, связанные причинно-следственной связью. Такие выводы были сделаны на том основании, что ни для какой ИСО события А и В не произойдут одновременно, а значит их обратный порядок по времени так же не может иметь место. Такие события всегда строго идут друг за другом по времени.

Между событиями А и В пространственноподобный интервал, если можно найти такую инерциальную систему отсчета, где эти события произойдут одновременно (а значит, в разных точках пространства).

По аналогии допустим, что в системе К интервал s между А и В такой:

s² = c²t² – l²

Тогда, если он пространственноподобный, то в системе К` время между событиями А и В t`=0. Тогда:

s² = c²(t`)<sup>2</sup> - (l`)² = -(l`)² < 0.

Очевидно, что если квадрат интервала меньше 0, то сам интервал – мнимый. Такие интервалы никогда не могут разделять события, произошедшие с одним и тем же объектом, а так же события, связанные причинно-следственной цепочкой. Такие события не имеют строгий порядок возникновения, то есть можно найти такие ИСО, где А предшествует В, и такие, где наоборот - В предшествует А. Обычно, это независимые события, такие как в приведенном выше примере: вспышка на Солнце и вспышка на Луне.

Для третьего типа интервалов по определению: s = 0. К таким событиям, например, относится распространение света или другого взаимодействия (гравитационного, электромагнитного). То есть 4х-интервал между событием возникновения взаимодействия (испускания) и событием принятия его какой-либо точкой пространства равен нулю.

Разделение интервалов на изотропные, пространственно- и времениподобные является абсолютным, т.е. одинаковым для всех ИСО.

Чтобы наглядно представить три класса пространственно-временных интервалов, рассмотрим множество событий в мире Минковского. Иллюстрация взята из книги Ландау и Лифшица "Теория поля, т.2". Выберем точку О за некоторое начальное событие, относительно которого рассмотрим все остальные точки (события) пространства-времени.

Все если точку О брать за начало 4х-интервала, то множество событий принадлежащих областям, помеченным как «Абсолютное прошлое» и «Абсолютное будущее» (если брать их за концы пространственно-временного промежутка), образуют времениподобные интервалы. Это легко проверить: квадрат проекции интервала на ось времени (ct)² будет больше квадрата проекции интервала на ось пространства (l)², а их разность даст положительное число. Событие из «Абсолютного будущего» не может ни для какой ИСО произойти раньше, чем событие О. Соответственно, любое событие из «Абсолютного прошлого» относительно любой ИСО предшествует событию О.

Остальная область называется «Абсолютно удаленной», так как события, принадлежащие ей, ни для какой ИСО не произойдут в одной точке с О. Такие события могут произойти одновременно с О, позже или раньше. Интервал между ними и событием О – пространственноподобный.

Как вы уже догадались, изотропные события лежат на границах – серых линиях на графике.

Области времениподобных и пространственноподобных интервалов иногда называют 4-мерными конусами с вершинами в точке О.

Замечание: т.к. пространство Минковского – псевдоевклидово, равные расстояния между двумя его точками на бумаге не соответствуют равным пространственно-временным интервалам. То есть мы не можем в полном объеме использовать систему координат, которую мы ввели. Разница например в том, что в евклидовом пространстве все точки, равноудаленные от данной, принадлежат окружности, а в мире Минковского (при построении на бумаге) – гиперболе:

X² + Y² = const         - уравнение окружности

X² - Y² = const         - уравнение гиперболы

На этом можно завершить первое знакомство с четырехмерным пространством. Напоминаю, что мир Минковского – всего лишь модель, на 100% подходящая под релятивистские законы. Благодаря этой модели был разработан математический аппарат СТО. Вполне возможно, что могут быть разработаны иные модели пространства-времени. Но почти уже столетняя история мира Минковского и относительная простота его структуры говорят сами за себя.

(Продолжение) 

Архитектор